Intervalles ouverts centrés

Considérons un intervalle ouvert quelconque.
    ]a,b[ = {x ∈ R : a < x < b}
        "Intervalles_1.gif"
    Recherchons le milieu (ou centre) c de cet intervalle. Il est obtenu par  "Intervalles_2.gif".
    Le rayon r de l'intervalle est alors la distance entre le centre et les "bords" (on parle de bornes) a et b de l'intervalle.
    r est donc un réel strictement positif.
    r=c-a
    "Intervalles_3.gif"
    Plus simplement, c'est donc aussi la largeur (le diamètre) de l'intervalle divisé par 2.
    "Intervalles_4.gif"
        "Intervalles_5.gif"

    
Exprimer l'appartenance d'un réel x à l'intervalle équivaut donc à dire que la distance entre x et le centre de l'intervalle doit être inférieure au rayon.
    x ∈ ]a,b[⇔ d(x,c)<r⇔|x-c|<r
On peut aussi obtenir cette relation de la manière suivante:
    x ∈ ]a,b[
        
    a<x<b    
        
    0<x-a  et  x-b< 0
        
    0<x-(c-r)  et  x-(c+r)<0
        
    -r<x-c  et x-c<r
        
    -r<x-c<r
        
    |x-c|<r

exemple 1: on considère l'intervalle ouvert "Intervalles_6.gif"

recherchons le centre et le rayon:

    "Intervalles_7.gif"
    "Intervalles_8.gif"
l'intervalle "Intervalles_9.gif" peut donc être défini de manière équivalente par

    "Intervalles_10.gif"
        Graphics:None

exemple 2: soit l'intervalle défini par "Intervalles_12.gif"

la condition d'appartenance à l'intervalle étant |x-(-3)|<1, nous voyons que le rayon est égal à 1 et le centre est -3.
c=-3
r=1

les bornes de l'intervalle sont alors:
    borne inférieure a=c-r=-3-1=-4
    borne supérieure b=c+r=-3+1=-2
et donc
    "Intervalles_13.gif"
            Graphics:None

Intervalles fermés centrés

Considérons un intervalle fermé quelconque.
    ]a,b[ = {x ∈ R : a ≤x≤ b}
        
    Recherchons le milieu (ou centre) c de cet intervalle. Il est obtenu par  "Intervalles_15.gif".
    Le rayon r de l'intervalle est alors la distance entre le centre et les "bords" (on parle de bornes) a et b de l'intervalle.
    r est donc un réel strictement positif.
    r=c-a
    "Intervalles_16.gif"
    Plus simplement, c'est donc aussi la largeur (le diamètre) de l'intervalle divisé par 2.
    "Intervalles_17.gif"
        "Intervalles_18.gif"

    
Exprimer l'appartenance d'un réel x à l'intervalle équivaut donc à dire que la distance entre x et le centre de l'intervalle doit être inférieure au rayon.
    x ∈ [a,b]⇔ d(x,c)≤r⇔|x-c|≤r
On peut aussi obtenir cette relation de la manière suivante:
    x ∈ [a,b]
        
    a≤x≤b    
        
    0≤x-a  et  x-b≤0
        
    0≤x-(c-r)  et  x-(c+r)≤0
        
    -r≤x-c  et x-c≤r
        
    -r≤x-c≤r
        
    |x-c|≤r

exemple 1: on considère l'intervalle fermé "Intervalles_19.gif"

recherchons le centre et le rayon:

    "Intervalles_20.gif"
    "Intervalles_21.gif"
l'intervalle "Intervalles_22.gif" peut donc être défini de manière équivalente par

    "Intervalles_23.gif"
            Graphics:None

exemple 2: soit l'intervalle défini par "Intervalles_25.gif"

la condition d'appartenance à l'intervalle étant |x-(-3)|≤1, nous voyons que le rayon est égal à 1 et le centre est égal à -3.
c=-3
r=1

les bornes de l'intervalle sont alors:
    borne inférieure a=c-r=-3-1=-4
    borne supérieure b=c+r=-3+1=-2
et donc
    "Intervalles_26.gif"
            "Intervalles_27.gif"

Apple, the Apple logo and Macintosh are registered trademarks of Apple Computer, Inc.
All other trademarks and names belong to their rightful owners.Designed, developed and maintained entirely on Mac OS X .